公元1841～1856年德国k.(t.w.)外尔斯特拉斯关于分析严密化的工作，主张将分析建立在算术概念的基础之上，给出极限的ε-δ说法和级数一致收敛性概念;同时在幂级数基础上建立复变函数论

　　公元1843年英国w.r.哈密顿发现四元数

　　公元1844年德国e.e.库默尔创立理想数的概念;德国h.g.格拉斯曼出版《线性扩张论》。建立ν个分量的超复数系，提出了一般的ν维几何的概念

　　公元1847年德国k.g.c.von施陶特著《位置的几何学》，不依赖度量概念建立射影几何体系

　　公元1849～1854年英国的a.凯莱提出抽象群概念

　　公元1851年德国(g.f.)b.黎曼著《单复变函数的一般理论基础》，给出单值解析函数的黎曼定义，创立黎曼面的概念，是复变函数论的一篇经典性论文

　　公元1854年德国(g.f.)b.黎曼著《关于几何基础的假设》，创立ν维流形的黎曼几何学英国g.布尔出版《思维规律的研究》，建立逻辑代数(即布尔代数)

　　公元1855年英国a.凯莱引进矩阵的基本概念与运算

　　公元1858年德国(g.f.)b.黎曼给出ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，提出黎曼猜想德国a.f麦比乌斯发现单侧曲面(麦比乌斯带)

　　公元1859年中国李善兰与英国的伟烈亚力合译的《代数学》、《代微积拾级》以及《几何原本》后9卷中文本出版，这是翻译西方近代数学著作的开始

　　中国李善兰建立了著名的组合恒等式(李善兰恒等式)

　　公元1861年德国k.(t.w.)外尔斯特拉斯在柏林讲演中给出连续但处处不可微函数的例子

　　公元1863年德国p.g.l.狄利克雷出版《数论讲义》，是解析数论的经典文献

　　公元1865年伦敦数学会成立，是历史上第一个成立的数学会

　　公元1866年俄国п.л.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立关于独立随机变量序列的大数律，成为概率论研究的中心课题

　　公元1868年意大利e.贝尔特拉米著《论非欧几何学的解释》，在伪球面上实现罗巴切夫斯基几何，这是第一个非欧几何模型

　　德国(g.f.)b.黎曼的《用三角级数表示函数的可表示性》正式发表，建立了黎曼积分理论

　　公元1871年德国(c.)f.克莱因在射影空间中适当引进度量而得到双曲几何与椭圆几何，这是不用曲面而获得的非欧几何模型

　　德国g.(f.p.)康托尔在三角级数表示的惟一性研究中首次引进了无穷集合的概念，并在以后的一系列论文中奠定了集合论的基础