21.求123456789101112……199200除以9的余数是________;
解答:
一位数个位数字之和是1+2+3+…..9=45
二位数数字之和是
1×10+1+2+3+…….9 (10-19)
2×10+1+2+3+…….9 (20-29)
……
9×10+1+2+3+…….9 (90-99) 余90,9余0,11余2
故二位数总和为(1+2…..+9)×10+1+2…..+9=495
100—199与1—99的区别在于百位多了100个1,共100
所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3.
22: 222……22除以13所得的余数是_____.
2000个
分析与解答:
因为222222=2111111
=21111001
=211171113
所以222222能被13整除.
又因为2000=6333+2
222…2=222…200+22
2000个 1998
2213=1…9
所以要求的余数是9.
求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;
解答:
23: 除以9的余数是0,
11: 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5×2007.
≡5×2007≡3(mod11),所以除以11的余数是3
99: 能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36
200720072007能被7,13,37整除.999=27×37 1001=7×11×13 91=7×13
13: ≡0(mod13) 除以13余0
91: ≡0(mod91) 除以91余0
所以除以13,91,999的余数都是0.
1001: 除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以 除以1001的余数是91.
101: 我们发现9999=101×99,所以
=0000+2007=×10000+2007
=×9999++2007≡+2007(mod101)
同样道理
+2007≡+2007×2(mod101)
以此类推 ≡2007×2007(mod101)=68
24、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何
解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是23
25、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;
解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.
a最小等于4.满足条件的最小数是381.
设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)
26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;
天之后是星期________;
解答:只要求出÷7的余数就可以知道天后是星期几.≡52007(mod7),56≡1(mod7)
2007≡3(mod6), ≡52007≡53≡6(mod7) s
所以天之后是星期日
2007的个位数字是7
20072的个位数字是9
20073的个位数字是3
20074的个位数字是1
20075的个位数字是1
27、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;
一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;
解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三 位数为192,498,804.
设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)
这个四位数是1946
28、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;
解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.
939×2-603=1275,939-393×2=153
A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51
再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.
