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　　·本周试题由学而思奥数名师徐研精选、解析，以保证试题质量。

　　·每周末，我们将一周试题汇总为word版本试卷，您可下载打印或在线阅读。

　　·每道题的答题时间不应超过15分钟。

　　难度：★★★★

　　小学五年级奥数天天练：计算

　　已知[a，b]=1000，[b，c]=2000，[c，a]=2000，满足上述要求的数组｛a，b，c｝共有多少组？


　　解答：已知当a能被b整除时，有[a，b]=a.现在我们先固定a、b、c三个数中的某两个，看第三个数有多少种可能性.先让a=1000，c=2000，只要b是1000的约数，便有[a，b]=1000，[b，c]=2000，[a，c]=2000.因为1000=2³×5³，b又是a的约数，a的约数有[（3+1）×（3+1）=]16个，即b有16种可能，所以这样的数组有16组.再让b=1000，c=2000，这时只要a是1000的约数，题目中的条件都满足，去掉与上面16种中相同的一种a=b=1000，c=2000，又有15（=16-1）组.

　　再看a、b、c三个数中固定一个数的情况.

　　让c=2000，为保证满足题目中的要求：[a，c]=2000，[b，c]=2000，a、b均应为2000的约数.为了使[a，b]=1000，而1000=2³×5³，所以a=2³×5ⁿ，b=5³×2^m.为去掉a=b=1000这一种情况，n可以取0、1、2三个值，m也可以取0、1、2三个值，即a可以是8、40、200这三个数，b可以是125、250、500这三个数.所以这样的数组有（3×3=）9组，交换a、b有9组.当c=2000时，这样的数组共有18组.

　　再让a=1000，为保证题目中的条件得到满足，即[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000，且不与上面已有的数组重复.又因为1000=2³×5³，2000=2⁴×5³，故应有b=2ⁿ×5³，c=2⁴×5^m.这里n可以取0、1、2、3四个数，m可以取0、1、2三种数，即b可以是125、250、500、1000这四个数，c可以是16、80、400这三个数，此时这样的数组共有（4×3=）12组.

　　再让b=1000，为保证题目中的条件[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000得到满足，且不与上面已有的数组重复，根据1000=2³×5³，2000=2⁴×5³，故应有a=2ⁿ×5³，c=2⁴×5^m.这里n只能取0、1、2三个数，m可以取0、1、2三个数，即a可以是125、250、500这三个数，c可以是16、80、400这三个数，此时这样的数组共有（3×3=）9组.

　　把上述各种情况下的组数相加，便是所求的答案.

　　满足要求的a、b、c数组共有：

　　16+15+18+12+9=70

　　注意：这里125，1000，16和1000，125，16算两组.



 


　　难度：★★★★★

　　小学五年级奥数天天练：排号

　　1991名同学从左到右按编号1到1991排成一列，然后从左到右1至3报数，凡报2的同学留下，其余的同学都离开.留下的同学按原顺序向左看齐后再 1至3报数，凡报2的同学留下，其余的同学都离开，留下的同学按原顺序向左看齐后再1至3报数，依次重复上面的做法，直到留下的学生人数比3少为止.问最 后留下的一个或两个同学中，站在第一号位上的同学在一开始站在什么号位上？


　　解答：我们先从100人着手，看看有什么规律，能不能用这个规律解决这个问题，

　　因为100÷3=33余1，所以第一次报数后只留下33人，他们按原来编号排列如下：

　　2，5，8，11，14，17，20，23，…，92，95，98，而他们的新编号依次为1，2，3，…，31，32，33.

　　又因为5-2=3，8-5=3，…，95-92=3，98-95=3，所以第一次报数后站在新编号1，2，3，…，31，32，33等号位上的人，他们在开始队伍中的号位数，正好等于新号位数减1后与3相乘，再加2，也就是：

　　原号位数=（新号位数-1）×3+2

　　又因为33÷3=11，所以第二次报数后只留下11人，他们按原来的编号排列如下：

　　5，14，23，32，41，50，59，68，77，86，95

　　他们的新编号依次为：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11

　　又因为14-5=9，23-14=9，32-23=9，…，86-77=9，95-86=9，5=3+2，所以第二次报数后，站在新编号1，2，3，…，11等号位上的人，他们在一开始队伍中的号位数，正好等于新号位数减1与9相乘，再加3，加2，即

　　原号位数=（新号位数-1）×3²+3+2

　　因为11÷3=3余2，所以第三次报数后只留下4人，他们按原来的编号排列如下：14，41，68，95.他们的新编号依次为1，2，3，4.

　　又因为41-14=27，68-41=27，95-68=27，14=9+3+2，所以第三次报数后，站在新编号1，2，3，4号位上的人，他们在一开始队伍中的号位数，正好等于新号位数减 1与 27相乘，再加 9、加3、加2，也就是：

　　原号位数=（新号位数-1）×3³+3²+3+2

　　又因为4÷3=1余1，所以第四次报数后只留下1人，他就是41号，而41=27+3²+3+2.

　　如果我们用a、b分别代表原号位与新号位数，那么经过第一、二、三、四次报数后，a、b之间存在下面的关系式：

　　a=（b-1）×3+2

　　a=（b-1）×3²+3+2

　　a=（b-1）×3³+3²+3+2

　　a=（b-1）×3⁴+3³+3²+3+2

　　分析对比这四个式子和报数的关系后，可得到一个更一般的关系式，即第k次报数后，a与b之间的关系可用下式表示：

　　a=（b-1）×3^k+33^k-1+…+3²+3+2

　　因为1991÷3=663……2，

　　664÷3=221……1，221÷3=73……2，

　　74÷3=24……2，25÷3=8……1，

　　8÷3=2……2，3÷3=1，

　　即1991名同学要报7次名后，最后才剩1人，也就是上面一般等式中的k=7，就有

　　a=（1-1）×37+36+35+3⁴+3³+3²+3+2

　　=2+3+9+27+81+243+729

　　=1094

　　这就说明了最后站在第一号位上的同学一开始站在1094号位上.