(4)某一行的图案是否有可能重复出现？

　　如果以下列情形开始的话，会有什么结果？

　　(1)改变第一行的图案。

　　(2)改变第一行的圆圈数目。

解答与分析

　　每个圆圈是黑或白是由其左上方与右上方的圆圈决定的。如果上面两个圈同色，那么它就是白圈；如果不同色，它就是黑圈。

　　每一行的圆圈都应该看成是连续循环的，因此在最右边的圆圈之后的应该是最左边的圆圈。

　　因此在决定每行最后一个圆圈的颜色时，应该把它视为位于上一行第一个与最后一个圆圈的下面。在第一行之后，每一行黑圈的数目必定是偶数(白圈也一样)。为什么？

　　一行全部为白圈的情形，只会在全白或全黑的一行之下出现。因此，它的出现完全取决于是否可能出现全黑圈行。全黑圈行又只会在黑白交错的一行下出现，但是从下面的讨论中就可以证明这是不可能的。

　　假设6号圈是白圈，那么1号必定是黑圈，这样才能使下一行最右边的成为黑圈。接着2号必须是黑圈，这样1、2号才可

　　能使下一行最左边的成为白圈。2号圈是黑圈，则3号圈必为白圈，同理4号圈一定是白圈，而5号圈一定是黑圈。但这样5号和6号圈的颜色不同，下一行倒数第二个圆圈就不可能是白圈。如果一开始假设6号圈是黑圈，也会产生同样的矛盾。

　　在一行中只有一个黑圈也是不可能的，因为黑圈的上面必定是一个黑圈和一个白圈，再稍加思考，我们就会发现一定还会有另一个黑圈出现。

　　所出现的图案在某个阶段之后一定会再重复出现，因为每行所可能出现的图案数目有限，但却能无限制地不断产生新的一行。